** Équation fonctionnelle

Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions \(f\) continues en 0 qui vérifient, pour tout réel \(x\) , \(f(2x)=f(x)\) .

1. Recherche d'une condition nécessaire.
    a. Soit \(x\in\mathbb R\) . Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(f(x)=f\left(\dfrac{x}{2^n}\right)\) .
    b. Déterminer   \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f\left(\dfrac{x}{2^n}\right)\) .
    c. En déduire que, pour tout réel \(x\) , \(f(x)=f(0)\) . Que peut-on dire de \(f\)  ?

2. Réciproquement, les fonctions trouvées dans la question précédente conviennent-elles ?